主流 02.3｜门外汉 · Logic Gates

引-逻辑门

到这里，机器已经拥有了两种能够被可靠区分的状态。

不过，一串静止的 0 与 1 还只能表示信息。要让计算真正发生，电路还必须按照一定的规则组合并改变这些状态。

而这些规则在数字电路中最基础的物质实现，它们同时还有个相当形象的名字：

逻辑门。

规则怪谈

我觉得 “逻辑门” 这个词非常贴切——它确实执行着极为简单的逻辑，也确实像一扇门一样，根据输入决定另一侧应该出现什么状态。

严格来说，逻辑门是一种按照固定规则，将一个或多个输入逻辑值映射为输出逻辑值的电路。

当然，它并不理解所谓的 “规则”，也不知道门外站着什么。
它只负责在输入发生变化以后，坚定不移地给出规定好的输出。

（在这一点上，它可能比大多数软件需求都更加稳定。）

实际上，逻辑门的规则并不复杂，甚至简单到了可以被完整列出来：

一个逻辑门的输入只有 0 与 1 两种状态。
因此，拥有 n 个输入的逻辑门，总共只会遇到 2ⁿ 种输入组合。
把所有组合以及它们对应的输出逐一写进表格，便得到了一张 真值表（truth table）。

在布尔逻辑中，我们通常将 1 解释为 “真” ，将 0 解释为 “假” ，真值表也因此得名。
（某些编程语言里就可以直接用 0 与 1 作为 “真” 或者 “假”）

当然，电子并不知道什么是真什么是假。
它们只是又一次被人类安排了意义。

康神开播了——真的假的？

在 CS 里，我们不妨把 “康神开播了” 看作一个命题，并将它记作 P。

所谓命题，就是一句能够被判断为真或假的陈述。
康神开播了，P = 1；康神没开播，P = 0。

至于康神到底有没有开播，应该去直播间确认——真值表不负责现场调查。
它只负责告诉我们：如果命题是真的，接下来会怎样；如果命题是假的，又会怎样。

（开播了吗？如开，到底开没开，如开。）

如果 P 表示 “康神开播了”，那么 NOT P 表示的就是：

康神没有开播。

（字面意思了属于是）

我们可以把 P 与 NOT P 的所有可能完整列出来：

P	NOT P
0	1
1	0

NOT P 有时也写作 ¬P，二者都表示对命题 P 取反。

在计算机科学的命题逻辑中，P 代表一句陈述。
到了数字电路中，它也可以代表一根输入线上的逻辑状态。

当这条规则被真正实现为电路时，我们便得到了一扇最简单的逻辑门：

非门（NOT gate），也称为 反相器（inverter）。

（像是一个杠精，无论如何都要和你持反意见）

全票通过

非门只有一个输入，因此它只需要负责反对一个人。

不过现实中的大多数问题往往不止一个条件。
假设现在有两个输入 P 与 Q，每个输入都可能是 0 或 1，
那么一共会出现 2² = 4 种组合。

与门（AND gate） 的规则相当严格：
只有所有输入都为 1 时，它才会输出 1。只要其中一个输入为 0，结果就是 0。

P	Q	P AND Q
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

如果 P 表示“密码正确”，Q 表示“验证码正确”，那么 P AND Q 表示的就是：

密码与验证码全部正确。

少一个都不行。

（与门大概是那种喜欢连坐的老师，只要有一个人当搅屎棍就直接选择给全班人创死）

我觉得或许还行？

或门（OR gate） 就显得比较随和了。
它对输入的要求相当宽松：只要两个输入中至少有一个为 1，它就会输出 1。
只有当两个输入都为 0 时，它才会输出 0。

P	Q	P OR Q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

（或许它自己就觉得 1 是个不错的选择，只需要有一个人支持它的观点罢了。）

值得注意的是，或门并不要求两个输入“二选一”。

当 P 与 Q 同时为 1 时，P OR Q 仍然是 1。
这种“至少一个成立，也允许全部成立”的关系，称为 包含或（inclusive OR）。

但如果规则要求两个输入中只能有一个为 1 呢？

那就需要一扇稍微难伺候一点的门了。

王不见王

普通的或门只要求 “至少有一个”，至于到底来了一个还是两个，它并不在乎。

但 异或门（XOR gate，exclusive OR） 的要求更加严格：两个输入中必须恰好有一个为 1，它才会输出 1。

或者说点更人话的：

两个输入不同时，异或门输出 1；两个输入相同时，异或门输出 0。

P	Q	P XOR Q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

异或运算也经常写作 P ⊕ Q。
（尽管电脑上不是很好直接打出这个字符就是了）

不过在许多编程语言中，按位异或则使用更加方便输入的 ^，例如 P ^ Q。
（人类最终还是向键盘作出了妥协。）

如果把 1 看作一位独占欲极强的“王”，那么异或门的规矩便相当直白：
来一个，可以；一个都不来，不行；两个同时来，更不行。

（没有王不行，有两个王也不行，算是仇家来的。）